By the four color theorem, every planar graph can be 4-colored.
Conform teoremei celor patru culori, orice graf planar poate fi 4-colorat.
Kempe had already drawn attention to the general, non-planar case in 1879, and many results on generalisations of planar graph coloring to surfaces of higher order followed in the early 20th century.
Kempe a atras deja atenția asupra cazului general, neplanar în 1879, și au urmat în secolul al XX-lea mai multe rezultate pe generalizări ale grafurilor planare care colorează suprafețe de ordin superior.
Autres résultats
The first results about graph coloring deal almost exclusively with planar graphs in the form of the coloring of maps.
For planar graphs, vertex colorings are essentially dual to nowhere-zero flows.
Pentru grafuri planare, colorările nodurilor sunt, în esență, duale cu fluxurile nicăieri-zero(d).
He is known for his work in mathematical analysis and topology, and in particular the generalization of Euler's formula for planar graphs.
Este cunoscut pentru contribuțiile sale în domeniul analizei matematice, topologiei și pentru generalizarea formulei lui Euler în cazul grafurilor planare.
In particular, for planar graphs, any clique can have at most four vertices, by Kuratowski's theorem.
În particular, pentru grafuri planare, orice clică poate avea cel mult patru noduri, conform teoremei lui Kuratowski(d).
In particular, the planar graphs have O(n) cliques, of at most constant size, that can be listed in linear time.
În particular, grafurile planare au O(n) clici, de dimensiune cel mult constantă, care pot fi enumerate într-un timp liniar.
K1 through K4 are all planar graphs.
Some NP-complete problems (such as the travelling salesman problem in planar graphs) may be solved in time that is exponential in a sublinear function of the input size parameter n, significantly faster than a brute-force search.
Unele probleme NP-complete (cum ar fi problema comis-voiajorului pe grafuri planare) se pot rezolva într-un timp exponențial într-o funcție subliniară față de dimensiunea de parametrului de intrare n, semnificativ mai rapid decât o căutare cu forța brută.
Planar graphs, and other families of sparse graphs, have been discussed above: they have linearly many maximal cliques, of bounded size, that can be listed in linear time.
Grafurile planare, și alte familii de grafuri rare, au fost discutate mai sus: au un număr liniar de clici maximale, de dimensiuni limitate, care pot fi enumerate într-un timp liniar.
Restriction: By restricting the structure of the input (e.g., to planar graphs), faster algorithms are usually possible.
Restricționarea: Prin limitarea structurii de intrare (de exemplu, la grafuri planare), sunt de obicei posibili algoritmi mai rapizi.
Determining whether a graph can be colored with 2 colors is in P, but with 3 colors is NP-complete, even when restricted to planar graphs.
Determinarea dacă un graf poate fi colorat în 2 culori este în P, dar în 3 culori este NP-completă, chiar și atunci când este limitată la grafuri planare.
These families include chordal graphs, complete graphs, triangle-free graphs, interval graphs, graphs of bounded boxicity, and planar graphs.